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Aplicas los elementos y las ecuaciones de una parábola
Ejemplo 5.
Encuentra la ecuación de la parábola en sus formas ordinaria y general, además de
todos sus elementos, cuyo vértice está en el punto (3, 2) y su foco en
F
(5, 2)
Solución
Como el foco está después del vértice, la parábola abre hacia la derecha, con
condiciones:
Ecuación
Foco
Directriz
Lado recto
(
y
k
)
2
= 4
a
(
x
h
)
(
h
+
a
,
k
)
x
=
h
a
LR
=
|4
ܽ
|
a) El parámetro:
a
=
ܸܨ
തതതത
= 5
3
a
= 2
b) Su ecuación en forma ordinaria:
(
y
2)
2
= 4(2)(
x
3)
(
y
2)
2
= 8(
x
3)
c) Desarrollamos para la ecuación en forma general:
y
2
4
y
+ 4 = 8
x
24
y
2
4
y
+ 4
8
x
+ 24 = 0
Reduciendo términos:
y
2
4
y
8
x
+ 28 = 0
d) Su directriz está en
x
=
h
a
x
= 3
2
x
= 1
e) La longitud del lado recto
LR
LR
=
|4(2)|
LR
= 8
f) Coordenadas de los puntos extremos del lado recto.
Como el lado recto son 8, existen 4 puntos arriba de él
y 4 puntos debajo de él, por lo que se suma y se resta
4 a la ordenada del foco
k
, obteniendo
k
+ 4 = 2 + 4 = 6
k
4 = 2
4 = -2, por lo que las coordenadas de los
puntos extremos del lado recto son (5,6) y (5,-2)
g) Su gráfica
Por lo tanto, las ecuaciones de la parábola en su forma ordinaria con vértice fuera del origen
son:
¢#+
y
–
k
)
= 4
a
(
x
–
h
)
Si abre hacia la derecha o izquierda
¢#+
x
–
h
)
= 4
a
(
y
–
k
)
Si abre hacia arriba o hacia abajo
Si desarrollamos, las ecuaciones de la parábola en su forma general con vértice fuera del
origen son:
¢#
y
by
cx
d
= 0 Si abre hacia la derecha o izquierda
¢#
x
bx
cy
d
= 0 Si abre hacia arriba o abajo
Donde
b
,
c
y
d
son números reales.
(MHPSOR#9
2
2
2
2
227