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Encuentra la ecuación de la elipse en sus formas ordinaria y general, cuyo centro es
#
C(3, -4) con eje focal paralelo al eje x, longitud del eje mayor 10 y excentricidad
ସ
, determina
todos sus elementos.
#
Como el eje mayor es 2
a
= 10,
a
= 5
La excentricidad
e
=
ସ
ହ
=
a
(
ସ
ହ
ሻ
=
c
5(
ସ
ହ
ሻ
=
c
c
= 4
b
2
=
a
2
–
c
2
= (5)
2
–
(4)
2
= 25
–
16 = 9
b
=
ξͻ
b
= 3
Con las coordenadas del centro
C
(3, -4) tenemos
h
= 3
k
= -4
Al sustituir estos valores en la ecuación en forma ordinaria:
ሺ௫#ି#ଷሻ
మ
ሺହሻ
మ
#
ሺ௬#ିሺିସሻሻ
మ
ሺଷሻ
మ
= 1
ሺ௫#ି#ଷሻ
మ
ଶହ
#
ሺ௬#ା#ସሻ
మ
ଽ
= 1
Desarrollamos para la ecuación en forma general:
Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mcm (25 x 5 = 225):
ଶଶହሺ௫#ି#ଷሻ
మ
ଶହ
#
ଶଶହሺ௬#ା#ସሻ
మ
ଽ
= 1(225)
Y dividiendo entre los denominadores:
9(
x
–
3)
2
+ 25(
y
+ 4)
2
= 225
Desarrollando los binomios y multiplicando:
9(
x
2
–
6
x
+ 9) + 25(
y
2
+ 8
y
+ 16) = 45
9
x
2
–
54
x
+ 81 + 25
y
2
+ 200
y
+ 400
–
225 = 0
9
x
2
+ 25
y
2
–
54
x
+ 200
y
+ 256 = 0
Las coordenadas de los vértices del eje mayor:
V
(
h + a, k
)
y
V
’(
h
a, k
)
V
(3 + 5, -4)
y
9¶
(3
–
5, -4)
V
(8, -4
)
y
9¶
(-2, -4)
Las coordenadas de los vértices del eje menor:
B
(
h, k + b
)
y
%¶
(
h, k
b
)
B
(3, -4 + 3)
y
%¶
(3, -4
–
3)
B
(3, -1)
y
%¶
(3, -7)
Las coordenadas de los focos:
F
(
h + c, k
)
y
)¶
(
h
c, k
)
F
(3 + 4, -4)
y
%¶
(3
–
4, -4)
F(7, -4)
y
)¶+
-1, -4)
La longitud del lado recto
LR
LR
=
ଶ
మ
=
ଶሺଷሻ
మ
ହ
=
ଵ଼
ଷ
LR
= 3.6
La longitud del eje mayor
99Ԣ
തതതതത
= 2
a
= 2(5)
99Ԣ
തതതതത
= 10
La longitud del lado menor
%%Ԣ
തതതതത
= 2
b
= 2(3)
%%Ԣ
തതതതത
= 6
Apéndice
339