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Actividad 3
1. El arco de un puente es semielíptico, con eje mayor horizontal. La base del arco mide 8 m de
un lado y la parte más alta del arco mide 3 m arriba de la horizontal. Encuentra la altura a los
3 m de la base. Bosqueja la gráfica.
Como la longitud del eje mayor es 8m y es igual a 2
a
, tenemos 2
a
= 8 y despejamos
a:
a
=
଼
ଶ
a
= 4
La altura del puente es 3 m, que corresponde al valor de
E1
b
= 3
Sustituimos estos valores en la ecuación de la elipse con vértice en el origen:
௫
మ
మ
#
௬
మ
మ
= 1
௫
మ
ሺସሻ
మ
#
௬
మ
ሺଷሻ
మ
= 1
௫
మ
ଵ
#
௬
మ
ଽ
= 1
Como se quiere calcular la altura a los 3 metros de la base, hacemos
x
= 3, valor que se sustituye
en la ecuación anterior:
ሺଷሻ
మ
ଵ
#
௬
మ
ଽ
= 1
Se despeja la variable
y
:
ଽ
ଵ
#
௬
మ
ଽ
= 1
௬
మ
ଽ
= 1
–
ଽ
ଵ
Se pasa multiplicando el 9 al lado derecho:
y
2
= 9
ቀͳ#Ȃ#
ͻ
ͳ
ቁ
y
2
= 9 -
଼ଵ
ଵ
y
2
=
ଷ
ଵ
y
=
ට
ଷ
ଵ
y
= 1.98 m
A los 3 metros de la base el puente tendrá una altura de 1.98 m
OJO: Cambiar la longitud de la base por 1.5 m
2. A un herrero le mandan hacer las protecciones para una ventana con forma semielíptica,
cuya longitud en la base es de 1.5 m y altura de 80 cm, y le piden que coloque protecciones
cada 25 cm. Determina la altura de cada barra de protección para la ventana.
Como la longitud del eje mayor es 1.5 m = 150 cm y es igual a 2
a
, tenemos 2
a
= 150 y
despejamos
a:
a
=
ଵହ
ଶ
a
= 75
La altura de la ventana es 80 cm, que corresponde al valor de
b
.
b
= 80
Sustituimos estos valores en la ecuación de la elipse con vértice en el origen:
௫
మ
ሺ଼ሻ
మ
#
௬
మ
ሺହሻ
మ
= 1
௫
మ
ସ
#
௬
మ
ହଶହ
= 1
Como se quiere calcular la altura de los barrotes cada 25 cm, hacemos
x
= 25, valor que se
sustituye en la ecuación anterior:
ሺଶହሻ
మ
ସ
#
௬
మ
ହଶହ
= 1
Se despeja la variable
y
:
Apéndice
343