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B
loque
VII
10. Dada la ecuación de la elipse en su forma general 9
x
2
+ 5
y
2
18
x
40
y
+ 44 = 0
transformarla a su forma ordinaria y calcula todos sus elementos.
x
Se separan los términos de
x
en un paréntesis y los términos de
y
en otro paréntesis,
(9
x
2
18
x
) + (5
y
2
40y) = -44
x
Se factorizan ambos paréntesis con el máximo común divisor (mcd) de cada uno.
9(
x
2
2
x
) + 5(
y
2
8
y
) = -44
x
Se completa el trinomio cuadrado perfecto de cada paréntesis, dividiendo el segundo término
de cada paréntesis entre 2 y elevando el resultado al cuadrado, agregando del lado derecho
los números que se sumaron para mantener el equilibrio entre las ecuaciones.
9(x
2
2x +
+
5
5
,
5
) + 5(y
2
8y +
+
;
5
,
5
) = -44 + 9
+
5
5
,
5
+
5
+
;
5
,
5
9(x
2
2x + 1) + 5(y
2
8y +
16) = -44 + 9(1)
+
5(16)
9(x
2
2x + 1) + 5(y
2
8y +
16) = -44 + 9
+
80
x
Se factorizan ambos paréntesis de modo que cada uno quede como un binomio al cuadrado,
y del lado derecho se reducen términos con lo cual queda la ecuación de la forma
b
2
(x
h)
2
+ a
2
(y
k)
2
= a
2
b
2
9(x
1)
2
+ 5(y
4)
2
= 45
x
Se dividen ambos miembros de la ecuación entre el término de la derecha (a
2
b
2
), separando
el lado izquierdo en 2 fracciones.
<+[# #4,
5
#.#8+\#0#7,
5
78
=
78#
78
<+[# #4,
5
#
78
+
8+\#0#
#
7,
5
#
78
= 1
x
Se simplifican las fracciones del lado izquierdo para llegar a la forma ordinaria
ሺ௫ିሻ
మ
మ
#
ሺ௬ିሻ
మ
మ
= 1
+[# #4,
5
#
8
+\#0#7,
5
#
<
= 1
Como
a
<
b
, la elipse tiene su foco en el eje vertical:
Las coordenadas del centro:
#
C
(
h, k
)
h
= 1
k
= 4
C
(1, 4)
Como
b
2
= 5
b
=
ξͷ
b
= 2.24
Como
a
2
= 9
a
=
ξͻ
a
= 3
c
2
=
a
2
b
2
c
2
= 9
5 = 4
c
=
ξͶ
c
= 2
Coordenadas de los vértices del eje mayor :
V
(
h, k + a
)
y
9¶
(
h, k
a
)
V
(1, 4 + 3)
V
(1, 7)
9¶
(1, 4
6,###@¶+4/#4,
Coordenadas de los vértices del eje menor:
B
(
h + b, k
) y
%¶
(
h
b, k
)
B
(1 + 2.24, 4)
B
(3.24, 4)
%¶
(1
2.24, 4)
%¶
(-1.24, 4)
Coordenadas de los focos
F(h, k + c)
y
)¶+K/#N##
c)
F
(1, 4 + 2)
F
(1, 6)
)¶
(1, 4
2)
)¶
(1, 2)
La longitud del eje mayor:
99Ԣ
തതതതത
= 2
a
= 2(3)
99Ԣ
തതതതത
= 6
h) La longitud del lado menor:
%%Ԣ
തതതതത
= 2
b
= 2(2.24)
%%Ԣ
തതതതത
= 4.48
Apéndice
342