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9. Encuentra la ecuación de la elipse en sus formas ordinaria y general dados los vértices
V(6,4) y V’(
-
2, 4) y focos F(5, 4) y F’(
-1, 4), además de todos sus elementos.
El centro es el punto medio de los vértices:
C
ቀ
6 - 2
2
,
4 +
4
2
ቁ
C
(2, 4)
h
= 2
k
= 4
Como la longitud del eje mayor
99Ԣ
തതതതത
= 2
a
y la diferencia entre las abscisas de sus vértices es
6
–
(-2) = 8, igualamos
2
a
= 8 y despejamos a:
a
= =
଼
ଶ
ܽൌͶ
Como la longitud del eje focal
ܥܥԢ
തതതതത
= 2c
y la diferencia entre las ordenadas de sus focos es
5
–
(-1) = 6, igualamos
2
c
= 6 y despejamos
c
:
c
= =
ଶ
ܿൌ͵
Como
c
2
=
a
2
–
b
2
b
2
=
a
2
–
c
2
b
2
= (4)
2
–
(3)
2
=
16
–
9 = 7
b
=
ξ
b
= 2.65
Como
a
>
b
, la elipse tiene su eje focal paralelo al eje
x
.
Al sustituir estos valores en la ecuación en forma ordinaria:
ሺ௫#ି#ଶሻ
మ
ሺସሻ
మ
#
ሺ௬#ି#ସሻ
మ
ሺଶǤହሻ
మ
= 1
ሺ௫#ି#ଶሻ
మ
ଵ
#
ሺ௬##ି#ସሻ
మ
= 1
Desarrollamos para la ecuación en forma general:
Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mcm (16 x 7 = 112):
ଵଵଶሺ௫#ି#ଶሻ
మ
ଵ
#
ሺ௬##ି#ସሻ
మ
= 1(112)
Y dividiendo entre los denominadores:
7(
x
–
2)
2
+ 16(
y
–
4)
2
= 112
Desarrollando los binomios y multiplicando:
7(
x
2
–
4
x
+ 4) + 16(
y
2
–
8
y
+ 16) = 112
7
x
2
–
28
x
+ 28 + 16
y
2
–
128
y
+ 256
–
112 = 0
7
x
2
+ 16
y
2
–
28
x
–
128
y
+ 172 = 0
Las coordenadas de los vértices del eje menor:
B
(
h, k + b
)
y
%¶
(
h, k
b
)
B
(2, 4 + 2.65)
y
%¶
(2, 4
–
2.65)
B
(2, 6.65
)
y
%¶
(2, 1.35)
La longitud del lado recto
LR
:
LR
=
ଶ
మ
=
ଶሺଶǤହሻ
మ
ସ
=
ଵ଼
ସ
LR
= 3.5
g) La longitud del eje mayor:
99Ԣ
തതതതത
= 2a = 2(4)
99Ԣ
തതതതത
= 8
h) La longitud del lado menor:
%%Ԣ
തതതതത
= 2b = 2(2.65)
%%Ԣ
തതതതത
= 5.3
Apéndice
341