Practica esta lección:
Ir al examen
Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta
Aprende más
Ecuación
normal de una recta
Observa la siguiente figura:
Sea
OP
ଵ
തതതതത
un segmento perpendicular a la recta
Ax
+
By
+
C
= 0, cuya longitud es
p
y
T
es
el ángulo determinado por el segmento
OP
ଵ
തതതതത
y el eje coordenado
x
.
De la figura se obtiene:
sen
T
=
co
h
=
y
1
p
y despejando
ݕ
1
tenemos:
ݕ
1
=
sen
T
cos
T
=
ca
h
=
x
1
p
y despejando
ݔ
1
tenemos:
x
1
= pcos
T
La pendiente del segmento
ܱܲ
ଵ
തതതതത
es
m
= tan
T
=
y
1
x
1
=
p
sen
ș
p
cos
ș
=
sen
ș
cos
ș
Las coordenadas de
P
1
se convierten ahora en
P
1
(pcos
T
, psen
T
)
Y la pendiente de la recta
Ax
+
By
+
C
= 0 es perpendicular al segmento
OP
ଵ
തതതതത
, por lo que
será inversa y de signo contrario, resultando:
m
= --
cos
ș
sen
ș
Al sustituir la pendiente y las coordenadas del punto
P
1
en la forma pendiente ordenada al
origen:
y
–
p
sen
T
= -
cos
ș
sen
ș
(
x
–
pcos
T
)
Pasando el denominador de la pendiente, multiplicando del lado izquierdo y realizando las
multiplicaciones del lado derecho:
sen
T
(
y
–
psen
T
) = -cos
T
(
x
–
p
cos
T
)
y
sen
T
-
p
sen
2
T
= -
x
cos
T
+
p
cos
2
T
Pasamos todos los términos del lado izquierdo:
y
sen
T
-
p
sen
2
T
+
x
cos
T
–
p
cos
2
T
= 0
Factorizando
p
:
xcos
T
+
y
sen
T
-
p
(sen
2
T
+ cos
2
T
) = 0
Recuerda que por identidades trigonométricas sen
2
T
+ cos
2
T
= 1
x
cos
T
+
y
sen
T
-
p
(1) = 0
x
cos
T
+
y
sen
T
–
p
= 0
Ésta sería la ecuación normal de la recta.
167