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Aplicas los elementos y las ecuaciones de una elipse
(MHPSOR#9
Encuentra la ecuación de la elipse en sus formas ordinaria y general, además de todos
sus elementos, dados
V
(
–
2, 3),
V
¶
(
–
2,
–
5),
F
(
–
2, 2) y
F
¶
(
–
2,
–
4).
Solución
Según las condiciones geométricas dadas, tenemos una ecuación de la forma
(
௫ି
)
మ
మ
+
(
௬ି
)
మ
మ
= 1
Como la longitud del eje mayor
99Ԣ
തതതതത
= 2
a
y la diferencia entre las ordenadas de sus
vértices es 3
–
(-5) = 8, igualamos
2
a
= 8 y despejamos
a
:
a
= =
଼
ଶ
a
= 4
Como la longitud del eje focal
ܥܥԢ
തതതതത
= 2c
y la diferencia entre las ordenadas de sus focos es
2
–
(-4) = 6, igualamos
2
c
= 6 y despejamos
c
:
c
= =
ଶ
ܿ
=3
Como
c
2
=
a
2
–
b
2
b
2
=
a
2
–
c
2
b
2
= (4)
2
–
(3)
2
=
16
–
9
b
2
= 7
b
=
ξ
7
b
= 2.65
El centro es el punto medio de los vértices, por lo que para calcular sus coordenadas:
Pm =
ቀ
௫
భ
ା
௫
మ
ଶ
,
௬
భ
ା
௬
మ
ଶ
ቁ
=
ቀ
(
ିଶ
)
ା
(
ିଶ
)
ଶ
,
ଷ
ା
(
ିହ
)
ଶ
ቁ
=
ቀ
ିସ
ଶ
,
ିଶ
ଶ
ቁ
= (-2 -1)
Coordenadas del centro
C
(
h, k
)
C
(-2, -1)
a) Al sustituir estos valores en la ecuación en forma ordinaria:
(
௫ି
(
ିଶ
))
మ
(
ଶ
.
ହ
)
మ
+
(
௬ି
(
ିଵ
))
మ
(
ସ
)
మ
= 1
(
௫
ା
ଶ
)
మ
+
(
௬
ାଵ
)
మ
ଵ
= 1
b) Desarrollamos para la ecuación en forma general:
Se multiplican ambos miembros de la ecuación por
el mcm (7 x 16 = 112):
ଵଶ
(
௫
ା
ଶ
)
మ
+
ଵଶ
(
௬
ାଵ
)
మ
ଵ
= 1(112)
Y dividiendo entre los denominadores.
16(x
+ 2)
2
+ 7(y
+ 1)
2
= 112
Desarrollando los binomios y multiplicando:
16(x
2
+ 4x + 4) + 7(y
2
+ 2
y
+ 1) = 112
16x
2
+ 64x + 64 + 7y
2
+ 14y + 7
–
112 = 0
Reduciendo términos y acomodando:
16x
2
+ 7y
2
+ 64x + 14y
–
41 = 0
c) Las coordenadas de los vértices del eje menor
B
(
h + b, k
)
y
%¶
(
h
b, k
)
B
(-2+2.65, -1)
%¶
(-2
–
2.65, -1)
B
(0.65, -1)
y
B
¶
(-4.65, -1)
d) La longitud del lado recto LR
LR
=
ଶ
మ
=
ଶ
(
ଶ
.
ହ
)
మ
ସ
=
ଶ
(
)
ସ
=
ଵସ
ସ
LR
= 3.5
e) La longitud del eje mayor
ܸܸԢ
തതതതത
= 2
a
= 2(4)
ܸܸԢ
തതതതത
= 8
f) La longitud del lado menor
ܤܤԢ
തതതതത
= 2
b
= 2(2.65)
ܤܤԢ
തതതതത
= 5.3
263