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Aplicas los elementos y las ecuaciones de una elipse
(MHPSOR#:
Dada la ecuación de la elipse en su forma general 4
x
2
+ 9
y
2
24
x
+ 18
y
+ 9 = 0, transformarla
a su forma ordinaria y calcular todos sus elementos.
Solución
1. Se separan los términos de
x
en un paréntesis y los términos de
y
en otro paréntesis, pasando
el término independiente (el número solo) del lado derecho.
(
x
2
24
x
) + (9
y
2
+ 18
y
) = -9
2. Se factorizan ambos paréntesis con el máximo común divisor (mcd) de cada uno.
4(
x
2
6
x
) + 9(
y
2
+ 2
y
) = -9
3. Se completa el trinomio cuadrado perfecto de cada paréntesis, dividiendo el segundo término
de cada paréntesis entre 2 y elevando el resultado al cuadrado, agregando del lado derecho
los números que se sumaron para mantener el equilibrio entre las ecuaciones.
4(
x
2
6
x
+
+
9
5
,
5
) + 9(
y
2
+ 2
y
+
+
5
5
,
5
) = -9 + 4
+
9
5
,
5
+
4
+
5
5
,
5
4(
x
2
6
x
+
+6,
5
) + 9(
y
2
+ 2
y
+
+4,
5
) = -9 + 4
+6,
5
+
9
+4,
5
4(
x
2
6
x
+ 9) + 9(
y
2
+ 2
y
+ 1) = -9 + 36 + 9
4. Se factorizan ambos paréntesis de modo que cada uno quede como un binomio al cuadrado,
y del lado derecho se reducen términos quedando la ecuación de la forma
b
2
(
x
h
)
2
+ a
2
(
y
k
)
2
= a
2
b
2
4(
x
3)
2
+ 9(
y
1)
2
= 36
5. Se dividen ambos miembros de la ecuación entre el término de la derecha (a
2
b
2
), separando
el lado izquierdo en 2 fracciones.
7+
[
# #6,
5
#.#<+
\
#.#4,
5
69
=
69#
69
7+
[
# #6,
5
#
69
+
<+
\
#.#4,
5
#
69
= 1
6. Se simplifican las fracciones del lado izquierdo para llegar a la forma ordinaria
#####
ሺ࢞ିࢎሻ
ࢇ
#
ሺ௬ିሻ
మ
మ
= 1
+[# #6,
5
#
<
+
+\#.#4,
5
#
7
= 1
Como
a
>
b
, la elipse tiene su foco en el eje horizontal
Elementos:
a) Las coordenadas del centro
#
C
(
h, k
)
h
= 3
k
= -1
C
(3, -1)
b) Los valores de
a,
b
y
c
Como
a
2
= 9
a
=
ξͻ
a
= 3
Como
b
2
= 4
b
=
ξͶ
b
= 2
c
2
=
a
2
b
2
c
2
= 9
4 = 5
c
=
ξͷ
c
= 2.2
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